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9、设平面α∥平面β,AB、CD是两条异面直线,M、N分别是AB、CD的中点,且A、C∈α,B、D∈β,求证:MN∥平面α.
分析:因为AB与CD是异面直线,故MN与AC、BD不平行.在平面α、β中找不到与MN平行的直线,试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻;于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行,即需找一个过MN且与α平行的平面.根据M、N是异面直线上的中点这一特征,连接BC,则此时AB、BC共面,即BC为沟通AB、CD的桥梁,再取BC的中点E,连接ME、NE,用中位线知识可证得.
解答:证明:连接BC、AD,取BC的中点E,连接ME、NE,则ME是△BAC的中位线,
故ME∥AC,ME?α,∴ME∥α.
同理可证,NE∥BD.又α∥β,
设CB与DC确定的平面BCD与平面α交于直线CF,则CF∥BD,
∴NE∥CF.而NE?平面α,CF?α,∴NE∥α.
又ME∩NE=E,∴平面MNE∥α,
而MN?平面MNE,∴MN∥平面α.
点评:本题考查平面与平面平行的判定,考查学生逻辑思维能力,空间想象能力,是中档题.
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