Question

(21)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

(Ⅱ)若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

解：(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为=1(a＞b＞0)，

由已知得：a+c=3，a-c=1，

∴a=2，c=1，

∴b²=a²-c²=3.

∴椭圆的标准方程为=1.

(Ⅱ)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

联立

得(3+4k²)x²+8mkx+4(m²-3)=0，

又y₁y₂=(kx₁+m)(kx₂+m)=k²x₁x₂+mk(x₁+x₂)+m²=，

因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2，0)，

∴k_ACk_AD=-1，则= -1.

∴y₁y₂+x₁x₂-2(x₁+x₂)+4=0.

∴+4=0.

∴7m²+16mk+4k²=0.

解得：

m₁=-2k，m₂=，且均满足3+4k²-m²＞0.

当m₁=-2k时，l的方程为y=k(x-2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾；

当m₂=时，l的方程为y=k(x)，直线过定点(，0).

所以，直线l过定点，定点坐标为(，0).