Question

三角形的周长为31，三边a，b，c均为整数，且a≤b≤c，则满足条件的三元数组（a，b，c）的个数为

 

．

Answer 1

分析：由三角形的三边关系可得

31

3

≤c＜

31

2

，故c=11，12，13，14，15，分别列举可得（满足a≤b≤c和三角形的三边关系即可）

解答：解：因为三边长分别为a≤b≤c，则a+b=31-c＞c≥

31

3

，
∴

31

3

≤c＜

31

2

，故c=11，12，13，14，15；
分类讨论如下：
①当c=11时，b=11，a=9或b=10，a=10；
②当c=12时，b=12，a=7或b=11，a=8或b=10，a=9；
③当c=13时，b=13，a=5或b=12，a=6或b=11，a=7或b=10，a=8或b=9，a=9；
④当c=14时，b=14，a=3或b=13，a=4或b=12，a=5或b=11，a=6或b=10，a=7或b=9，a=8；
⑤当c=15时，b=15，a=1或b=14，a=2或b=13，a=3或b=12，a=4或b=11，a=5或b=10，a=6或b=9，a=7或b=8，a=8；
∴满足条件的三角形的个数为2+3+5+6+8=24．
故答案为：24

点评：本题涉及分类讨论的思想，解答的关键是找到三边的取值范围及对三角形三边的理解把握，属中档题．