Question

已知数列

1

1×4

，

1

4×7

，

1

7×10

，…，

1

(3n-2)(3n+1)

，…，计算S₁，S₂，S₃，根据计算结果，猜想S_n的表达式，并用数学归纳法进行证明．

Answer 1

分析：由题意得S₁=a₁，由S₂=a₁+a₂求得S₂，同理求得 S₃，S₄．猜想猜想Sn=

n

3n+1

，n∈N₊，用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设Sk=

k

3k+1

，则当n=k+1时，由条件可得当n=k+1时，也成立，从而猜想仍然成立．

解答：解：S1=

1

1×4

=

1

4

，S2=

1

1×4

+

1

4×7

=

2

7

，
S3=

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

=

3

10

----------（4分）
猜想：Sn=

n

3n+1

----------------------------（6分）
证明：（1）当n=1 时，由上面计算知结论正确．
（2）假设n=k时等式成立，即Sk=

k

3k+1

，
当n=k+1时，Sk+1=Sk+ak+1=

k

3k+1

+

1

(3k+1)(3k+4)

=

k(3k+4)+1

(3k+1)(3k+4)

=

(k+1)(3k+1)

(3k+1)(3k+4)

=

k+1

3(k+1)+1

∴当n=k+1时结论成立，
由（1），（2）知，等式对任意正整数都成立-------------------------（14分）．

点评：本题主要考查数学归纳法的应用，用归纳法证明数学命题时的基本步骤：（1）检验n=1成立（2）假设n=k时成立，由n=k成立推导n=k+1成立，要注意由归纳假设到检验n=k+1的递推．