Question

已知矩阵M=

1 a 2 1

，其中a∈R，若点P（1，7）在矩阵M的变换下得到点P'（15，9）．
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量α．

Answer 1

分析：首先根据矩阵的变换列出方程式 求出实数a的值．求出m的矩阵后写出其特征多项式，令f（λ）=0，得矩阵M的特征值，再根据特征值解出特征向量．

解答：解：（1）由

1 a 2 1

1 7

=

15 9

，∴1+7a=15?a=2．（4分）
（2）由（1）知M=

1 2 2 1

，则矩阵M的特征多项式为f(λ)=

.

λ-1 -2 -2 λ-1

.

=（λ-1）（λ-1）-4=λ²-2λ-3，
令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为-1与3．（6分）
当λ=-1时，

-2x-2y=0 -2x-2y=0

?x+y=0，
∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为

1 -1

；（8分）
当λ=3时，

2x-2y=0 -2x+2y=0

?x=y，
∴矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为

1 1

．（10分）

点评：本题主要考查矩阵与向量的乘法，和矩阵特征值及特征向量的求法．要求综合能力，计算能力，以及矩阵的很好理解．