Question

定义为有限项数列的波动强度.

（Ⅰ）当时，求；

（Ⅱ）若数列满足，求证：；

（Ⅲ）设各项均不相等，且交换数列中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列一定是递增数列或递减数列.

Answer 1

（Ⅰ）解：    ………………1分

.          ………………3分

（Ⅱ）证明：因为，

，

所以.  ……4分

因为，所以，或.

若，则

当时，上式，

当时，上式，

当时，上式，

即当时，.   ………………6分

若，

则，

.（同前）

所以，当时，成立.     ……………7分

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.（将此作为引理）

下面来证明当时，为递减数列.

（ⅰ）证明.

若，则由引理知交换的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.

若，则，与已知矛盾.

所以，.                                      ………………9分

（ⅱ）设，证明.

若，则由引理知交换的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.

若，则，与已知矛盾.

所以，.                                             …………11分

（ⅲ）设，证明.

若，考查数列，

则由前面推理可得，与矛盾.

所以，.                                         ……………12分

综上，得证.

同理可证：当时，有为递增数列.            ………………13分