Question

已知点P（0，5）及圆C：x²+y²+4x-12y+24=0．
（1）若直线l过点P且与C交于M、N两点，当|MN|=4

3

时，求直线l的方程；
（2）求过点P的圆C的弦的中点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）分类讨论，利用直线与圆相切，结合点到直线的距离公式，即可得到结论；
（2）利用P（0，5），C（-2，6）满足：

PQ

⊥

CQ

，化简即可得到结论．

解答：解：（1）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=0，
由y²-12y+24=0得：y=6±2

3

，满足|MN|=4

3

则l的方程为：x=0；
②设l：y=kx+5即：kx-y+5=0
∵|MN|=4

3

，圆C：（x+2）²+（y-6）²=16
∴

|-2k-6+5|

k2+1

=2
∴k=

3

4

∴l：3x-4y+20=0．
于是l：3x-4y+20=0或x=0．
（2）设Q（x，y）
∵P（0，5），C（-2，6）满足：

PQ

⊥

CQ

，

PQ

=(x，y-5)，

CQ

=(x+2，y-6)
∴（x+2）x+（y-6）（y-5）=0，即Q的轨迹方程为：x²+y²+2x-11y+30=0．（轨迹在圆C内）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．