题目内容
6、设f0（x）=sin x，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），n∈N，则f2010（x）=
-sinx
．分析：由题意首先求出f1（x）、f2（x）、f3（x）、f4（x）、f5（x）、观察所求结果，发现结果成周期性出现．利用周期性求f2010（x）的值即可．
解答：解：∵f1（x）=（sinx）′=cosx，
f2（x）=（cosx）′=-sinx，
f3（x）=（-sinx）′=-cosx，
f4（x）=（-cosx）′=sinx，
f5（x）=（sinx）′=f1（x），f6（x）=f2（x），．
∴fn+4（x）=fn（x），即周期T为4．
∴f2010（x）=f2（x）=-sinx．
故答案为：-sinx
f2（x）=（cosx）′=-sinx，
f3（x）=（-sinx）′=-cosx，
f4（x）=（-cosx）′=sinx，
f5（x）=（sinx）′=f1（x），f6（x）=f2（x），．
∴fn+4（x）=fn（x），即周期T为4．
∴f2010（x）=f2（x）=-sinx．
故答案为：-sinx
点评：本题考查三角函数求导、函数周期性的应用，考查观察、归纳方法的应用．
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