题目内容
已知函数
(1)若x=e为y=f(x)-2ex-ax的极值点,求实数a的值
(2)若x是函数f(x)的一个零点,且x∈(b,b+1),其中b∈N,则求b的值
(3)若当x≥1时

【答案】分析:(1)由已知函数
,y=f(x)-2ex-ax,我们易求出函数y=f(x)-2ex-ax的解析式,又由进而求出其导函数的解析式,又由x=e为y=f(x)-2ex-ax的极值点,故y'x=e=0,由此构造关于a的方程,解方程即可求出实数a的值
(2)根据函数单调性的性质,我们易得函数
为增函数,若x是函数f(x)的一个零点,利用二分法我们易得在区间(
,1)上存在函数唯一的零点,则(
,1)?(b,b+1),又由b∈N,即求出b的值
(3)构造函数
,则问题可转化为当x≥1时函数恒成立问题,分析函数的单调性,求出函数的最值,即可求出c的取值范围.
解答:解:(1)
…(2分)
∵y在x=e处取得极值,∴y'x=e=0即
解得
经检验
符合题意,∴
…(4分)
(2)∵
,(x>0),∴f'(x)>0
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增…(5分)
又∴
且
由二分法可得
…(7分)
又∵
∴b=0…(8分)
(3)设
,
,∵x≥1,∴
(ⅰ)若c≤2,当x≥1时,
恒成立
故g(x)在(0,+∞)上为增函数,
所以,x≥1时,g(x)≥g(1),即
.…(9分)
若c>2,方程g'(x)=0有2根
或
且x1<1<x2
此时若x∈(1,x2),则g'(x)<0,
故g(x)在该区间为减函数
所以x∈(1,x2)时,g(x)<g(1)=0即
与题设
矛盾
综上,满足条件的c的取值范围是(-∞,2]…(12分)
点评:本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件,函数恒成立问题,函数的零点,其中(1)的关键是根据函数在某点取得极值的条件构造方程y'x=e=0,(2)的关键是用二分法求出在区间(
,1)上存在函数唯一的零点,(3)的关键是将问题转化为一个函数恒成立问题.

(2)根据函数单调性的性质,我们易得函数



(3)构造函数

解答:解:(1)

∵y在x=e处取得极值,∴y'x=e=0即


经检验


(2)∵

∴f(x)在(0,+∞)上单调递增…(5分)
又∴

且

由二分法可得

又∵

∴b=0…(8分)
(3)设



(ⅰ)若c≤2,当x≥1时,

故g(x)在(0,+∞)上为增函数,
所以,x≥1时,g(x)≥g(1),即

若c>2,方程g'(x)=0有2根


此时若x∈(1,x2),则g'(x)<0,
故g(x)在该区间为减函数
所以x∈(1,x2)时,g(x)<g(1)=0即

与题设

综上,满足条件的c的取值范围是(-∞,2]…(12分)
点评:本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件,函数恒成立问题,函数的零点,其中(1)的关键是根据函数在某点取得极值的条件构造方程y'x=e=0,(2)的关键是用二分法求出在区间(


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