题目内容

设a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2≥
25
2
．
分析：利用基本不等式，先证明
1
ab
≥4，再利用(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2≥2(
a+
1
a
+b+
1
b
2
)2=2(
1+
1
a
+
1
b
2
)2，即可得到结论．
解答：证明：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，
∴
ab
≤
a+b
2
=
1
2
，
∴ab≤
1
4
，∴
1
ab
≥4，
∴(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2≥2(
a+
1
a
+b+
1
b
2
)2=2(
1+
1
a
+
1
b
2
)2=2(
1+
a+b
ab
2
)2=2(
1+
1
ab
2
)2≥2(
1+4
2
)2=
25
2

即(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2≥
25
2
．
点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设a＞0，b＞0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小．
设a＞0，b＞0，且2a+b=1，则
2
a
+
1
b
的最小值是
9
9
．
（2013•保定一模）设a＞0，b＞0，且a+b=2，
1
a
+
1
b
的最小值为m，记满足x2+y2≤3m的所有整点坐标为（xi，yi）（i=1，2，3，…，n），则
n
i=1
|xiyi|
20
20
．
设a＞0，b＞0，且a+b≤4，则有（　　）
A、
1
ab
≥
1
2
B、
ab
≥2
C、
1
a
+
1
b
≥1
D、
1
a+b
≤
1
4

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