题目内容

已知函数 $数学公式$ 的图象与y轴交于 $数学公式$ ，它在y右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（m，6）和 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的解析式及m的值；
（2）若锐角θ满足 $数学公式$ ，求f（θ）．

解：（1）由函数的图象在y右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（m，6）和 $\text{[math]}$ ，可得A=6，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =（m+ $\text{[math]}$ ）-m= $\text{[math]}$ ，求得ω=2．
把点 $\text{[math]}$ 代入函数的解析式可得 6sin（2×0+φ）=3 $\text{[math]}$ ，解得sinφ= $\text{[math]}$ ，再由|φ|＜ $\text{[math]}$ ，求得φ= $\text{[math]}$ ．
故f（x）=6sin（2x+ $\text{[math]}$ ）．
函数在y右侧的第一个最高点的坐标分别为（m，6），故2m+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得 m= $\text{[math]}$ ．
（2）若锐角θ满足 $\text{[math]}$ ，θ∈（0， $\text{[math]}$ ），∴sinθ= $\text{[math]}$ ，cosθ= $\text{[math]}$ ．
f（θ）=6sin（2θ+ $\text{[math]}$ ）=6sin2θ•cos $\text{[math]}$ +6cos2θ•sin $\text{[math]}$ =6 $\text{[math]}$ sinθcosθ+3 $\text{[math]}$ （2cos²θ-1）
=6 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ （2× $\text{[math]}$ -1）= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由图象的最高点的纵坐标求A，由周期求ω，把点 $\text{[math]}$ 代入函数的解析式求得φ，从而求得函数解析式，再根据函数在y右侧的第一个最高点的坐标
为（m，6），可得2m+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此解得 m的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinθ 和cosθ 的值，再利用两角和差正弦公式、二倍角公式求得f（θ）=6sin（2θ+ $\text{[math]}$ ）的值．
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两角和差正弦公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系，求函数的值，属于中档题．