题目内容
17.已知向量$\overrightarrow{a}$=(1,1),$\overrightarrow{b}$=(1,-1),$\overrightarrow{c}$=($\sqrt{2}$cosθ,$\sqrt{2}$sinθ),实数m,n满足m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$,则(m-1)2+(n-1)2的最小值为3-2$\sqrt{2}$.分析 实数m,n满足m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$,可得m(1,1)+n(1,-1)=($\sqrt{2}$cosθ,$\sqrt{2}$sinθ),化为m2+n2=1.r=1,求出圆心(0,0)到点(1,1)的距离d.可得(m-1)2+(n-1)2≥d-r
解答 解:∵实数m,n满足m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$,
∴m(1,1)+n(1,-1)=($\sqrt{2}$cosθ,$\sqrt{2}$sinθ),
∴m+n=$\sqrt{2}$cosθ,m-n=$\sqrt{2}$sinθ,
∴m2+n2=1.
∴圆心(0,0)到点(1,1)的距离d=$\sqrt{2}$.
则(m-1)2+(n-1)2≥$(\sqrt{2}-1)^{2}$=3-2$\sqrt{2}$.
∴(m-1)2+(n-1)2的最小值为3-2$\sqrt{2}$.
故答案为:3-2$\sqrt{2}$.
点评 本题考查了向量的坐标运算、圆的方程、点与圆的位置关系、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | 9 | B. | 10 | C. | 11 | D. | 12 |