Question

如果点P在平面区域

2x-y+2≥0 x+y-2≤0 2y-1≥0

内，点Q在曲线x²+y²-4x-4y+7=0上，则|PQ|的最小值为（　　）

• A．2
• B．

  2

• C．2

  2

  -1
• D．

  2

  -1

Answer 1

分析：先将曲线x²+y²-4x-4y+7=0化成圆的标准方程，得到Q在以点C（2，2）为圆心，半径为1的圆上运动．然后作出题中不等式组对应的平面区域，作出点C到区域边界的直线AD：x+y-2=0的垂线，可得当点P与垂足重合，且动点Q恰好落在垂线与圆C的交点时，|PQ|达到最小值．最后用点到直线的距离公式，可以算出点C到直线AD的距离，从而得到|PQ|的最小值为

2

-1．

解答：解：曲线x²+y²-4x-4y+7=0化成（x-2）²+（y-2）²=1
得圆的标准方程，曲线表示的是以C（2，2）为圆心，半径为1的圆．
因此|PQ|的最小值，化为先求点C到平面区域

2x-y+2≥0 x+y-2≤0 2y-1≥0

内点的最小值，再用这个最小值减去半径1即可．
作出平面区域

2x-y+2≥0 x+y-2≤0 2y-1≥0

，如右图△BAD及其内部
过点C作出直线AD：x+y-2=0的垂线，
当点P与垂足重合，且动点Q恰好落在垂线与圆C的交点时，
|PQ|达到最小值．
∵点C（2，2）到直线AD：x+y-2=0的距离为d=

|2+2-2|

12+ 12

=

2

∴|PQ|的最小值为

2

-1
故选D

点评：本题以圆上的动点到三角形区域内点的最小距离问题为载体，着重考查了简单线性规划的应用、圆的标准方程和点到直线距离公式等知识点，属于中档题．