题目内容
19．若P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上的动点，F是椭圆的右焦点，已知点A（1，3），则|PA|+|PF|的最小值为（ ）| A． | $\sqrt{5}$ | B． | 4 | C． | 5 | D． | $\sqrt{13}$ |
分析 如图所示，由椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，可得：a，b，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$．设椭圆的左焦点为F′，连接PF′，AF′．由椭圆的定义可得：|PF|=2a-|PF′|，于是|PA|+|PF|=|PA|+10-|PF′|=10-（|PF′|-|PA|）≥10-|AF′|．
解答 
解：如图所示，
由椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
可得：a=5，b=4，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=3．
F（3，0）．
设椭圆的左焦点为F′（-3，0），连接PF′，AF′．
则|PF|=2a-|PF′|，
∴|PA|+|PF|=|PA|+10-|PF′|=10-（|PF′|-|PA|）≥10-|AF′|=10-$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
∴|PA|+|PF|的最小值为5．
故选：C．
点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$ |