Question

2013年东亚运动会于2013年10月6日至10月15日在中国天津举行．天津某体育用品专卖店抓住商机购进某种东亚运动会特许商品进行销售，该特许产品的成本为20元/个，每日的销售量y（单位：个）与单价x（单位：元）之间满足关系式y=

a

x-20

+4(x-50)2（其中20＜x＜50，a为常数）．当销售价格为40元/个时，每日可售出该商品401个
（1）求a的值及每日销售该特许产品所获取的总利润L（x）；
（2）试确定单价x的值，使所获得的总利润L（x）最大．

Answer 1

分析：（1）由销售价格为40元/个时，每日可售出该商品401个求出a的值，则总利润L（x）等于售量乘以售价减去总成本；
（2）对利润函数求导，利用导数分析当x取何值时总利润最大．

解答：解：（1）由y=

a

x-20

+4(x-50)2，取x=40，y=401得，401=

a

40-20

+4(40-50)2
解得：a=20．
所以y=

20

x-20

+4(x-50)2．
则每日销售该特许产品所获取的总利润
L（x）=y（x-20）=[

20

x-20

+4(x-50)2](x-20)=20+4(x-50)2(x-20)（20＜x＜50）；
（2）由L（x）=20+4（x-50）²（x-20）=4x³-480x²+18000x-199980．
得L′（x）=12x²-960x+18000=12（x-30）（x-50）．
当x∈（20，30）时，L′（x）＞0，L（x）为增函数，
当x∈（30，50）时，L′（x）＜0，L（x）为减函数．
所以当x=30时，L（x）_max=16020．
所以当销售单价为30元/个时，所获得的总利润L（x）最大．

点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了利用导数研究函数的最值，关键在于数学模型的建立，是中档题．