题目内容
如图，椭圆C：
（a＞b＞0）的离心率为
，其左焦点到点P（2，1）的距离为
．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分。
（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△ABP的面积取最大时直线l的方程
（Ⅱ）求△ABP的面积取最大时直线l的方程
解：（Ⅰ）由题：
； （1）
左焦点（-c，0）到点P（2，1）的距离为：
（2）
由（1）（2）可解得：
∴所求椭圆C的方程为：
。
（Ⅱ）易得直线OP的方程：y＝
x，
设A（xA，yA），B（xB，yB），R（x0，y0）
其中y0＝
x0
∵A，B在椭圆上，
∴
设直线AB的方程为l：y＝﹣
（m≠0），
代入椭圆：
显然
∴﹣
＜m＜
且m≠0
由上又有：
＝m，
＝
∴|AB|＝
|
|＝
＝
∵点P（2，1）到直线l的距离为：
∴S△ABP＝
d|AB|＝
|m＋2|
，
当|m＋2|＝
，即m＝-3 or m＝0（舍去）时，
（S△ABP）max＝
此时直线l的方程y＝-
。
； （1）左焦点（-c，0）到点P（2，1）的距离为：
（2）由（1）（2）可解得：
∴所求椭圆C的方程为：
。（Ⅱ）易得直线OP的方程：y＝
x，设A（xA，yA），B（xB，yB），R（x0，y0）
其中y0＝
x0∵A，B在椭圆上，
∴
设直线AB的方程为l：y＝﹣
（m≠0），代入椭圆：
显然
∴﹣
＜m＜且m≠0由上又有：
＝m，＝∴|AB|＝
||＝＝∵点P（2，1）到直线l的距离为：
∴S△ABP＝
d|AB|＝|m＋2|，当|m＋2|＝
，即m＝-3 or m＝0（舍去）时，（S△ABP）max＝
此时直线l的方程y＝-
。
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如图，椭圆C：
（a＞b＞0）的一个焦点是F（-
，0），离心率e=
，过点A（0，-2）且不与y轴重合的直线l与椭圆C相交于不同的两点P、Q
，a，b为常数），动圆
，b＜t1＜a．点A1，A2分别为C的左，右顶点，C1与C相交于A，B，C，D四点．
与C相交A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：
为定值．
（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）．
（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）．
（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）．