题目内容
对抛物线C：x2=4y，有下列命题：
①设直线l：y=kx+l，则直线l被抛物线C所截得的最短弦长为4；
②已知直线l：y=kx+l交抛物线C于A，B两点，则以AB为直径的圆一定与抛物线的准线相切；
③过点P（2，t）（t∈R）与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或3条；
④若抛物线C的焦点为F，抛物线上一点Q（2，1）和抛物线内一点R（2，m）（m＞1），过点Q作抛物线的切线l1，直线l2过点Q且与l1垂直，则l2一定平分∠RQF．
其中你认为是真命题的所有命题的序号是
①设直线l：y=kx+l，则直线l被抛物线C所截得的最短弦长为4；
②已知直线l：y=kx+l交抛物线C于A，B两点，则以AB为直径的圆一定与抛物线的准线相切；
③过点P（2，t）（t∈R）与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或3条；
④若抛物线C的焦点为F，抛物线上一点Q（2，1）和抛物线内一点R（2，m）（m＞1），过点Q作抛物线的切线l1，直线l2过点Q且与l1垂直，则l2一定平分∠RQF．
其中你认为是真命题的所有命题的序号是
①②④
①②④
．分析：①将直线和抛物线联立，解出弦长．②利用直线与抛物线的位置关系进行判断．③设直线方程，联立抛物线进行求解判断．
④作出切线，利用抛物线的定义，判断l2是否平分∠RQF．
④作出切线，利用抛物线的定义，判断l2是否平分∠RQF．
解答：解：①因为抛物线的焦点为F（0，1），直线y=kx+l过焦点F，所以当k=0时，直线l被抛物线C所截得的通径最短，此时为2p=4，所以①正确．
②直线y=kx+l过焦点F，且抛物线的准线方程为y=-1．所以根据抛物线的定义可知，A，B到抛物线准线的距离之和为AB，
所以AB的中点到准线的距离为
，所以此时以AB为直径的圆一定与抛物线的准线相切，所以②正确．
③当过点P的直线的斜率不存在时，此时为x=2，此时直线和抛物线只有一个交点，此时满足条件的直线只有1条．当过点P的直线斜率存在时，不妨设为k，
此时和抛物线只有一个交点的直线有两条切线，所以过点P（2，t）（t∈R）与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或2条，所以③错误．
④因为抛物线的焦点为F（0，1），又Q（2，1），R（2，m），所以三角形FQR为直角三角形，由x2=4y，得y=
x2，求导得y′=
x，
所以切线l1的斜率为k1=1，即直线l1的倾斜角为45°，因为直线l2过点Q且与l1垂直，所以l2一定平分∠RQF．所以④正确．
故答案为：①②④．
②直线y=kx+l过焦点F，且抛物线的准线方程为y=-1．所以根据抛物线的定义可知，A，B到抛物线准线的距离之和为AB，
所以AB的中点到准线的距离为
| AB |
| 2 |
③当过点P的直线的斜率不存在时，此时为x=2，此时直线和抛物线只有一个交点，此时满足条件的直线只有1条．当过点P的直线斜率存在时，不妨设为k，
此时和抛物线只有一个交点的直线有两条切线，所以过点P（2，t）（t∈R）与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或2条，所以③错误．
④因为抛物线的焦点为F（0，1），又Q（2，1），R（2，m），所以三角形FQR为直角三角形，由x2=4y，得y=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
所以切线l1的斜率为k1=1，即直线l1的倾斜角为45°，因为直线l2过点Q且与l1垂直，所以l2一定平分∠RQF．所以④正确．
故答案为：①②④．
点评：本题考查了抛物线的定义和性质，以及直线和抛物线的位置关系，综合性较强，运算量较大．
练习册系列答案
相关题目