Question

某种项目的射击比赛，开始时射手在距离目标100m处射击，若命中则记3分，且停止射击．若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但需在距离目标150m处，这时命中目标记2分，且停止射击．若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时需在距离目标200m处，若第三次命中则记1分，并停止射击．若三次都未命中则记0分，并停止射击．已知射手甲在100m处击中目标的概率为

1

2

，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都相互独立．
（Ⅰ）求射手甲在三次射击中命中目标的概率；
（Ⅱ）求射手甲在比赛中的得分不少于1分的概率．

Answer 1

分析：（I）记出事件记射手甲第一、二、三次射击命中目标分别为事件A、B、C，三次均为击中目标为事件D，分别做出几种事件的概率，根据相互独立事件的概率和互斥事件的概率得到结果．
（II）记出事件记射手甲第一、二、三次射击命中目标分别为事件A、B、C，三次均为击中目标为事件D，分别做出几种事件的概率，做出射手甲在比赛中的得分不少于1分的概率．得到结果．

解答：解：记射手甲第一、二、三次射击命中目标分别为事件A、B、C，三次均为击中目标为事件D，则P(A)=

1

2

．
设射手甲在xm处击中目标的概率为P（x），则P(x)=

k

x2

．
由x=100m时P(A)=

1

2

，得

k

1002

=

1

2

，∴k=5000，P(x)=

5000

x2

．
∴P(B)=

2

9

，P(C)=

1

8

，P(D)=P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)=

1

2

×

7

9

×

7

8

=

49

144

．…（4分）
（I）由于各次射击是相互独立的，所以射手甲在三次射击中击中目标的概率为P=P(A)+P(

.

A

•B)+P(

.

A

•

.

B

•C)=

95

144

．…（8分）
（II）射手甲在比赛中的得分不少于（1分）的概率为P=1-

49

144

=

95

144

．…（12分）

点评：本题考查相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率，本题解题的关键是在解题前所做的先求出所要用到概率，本题是一个中档题目．