Question

14、观察下列等式：（x²+x+1）⁰=1；（x²+x+1）¹=x²+x+1；（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1；（x²+x+1）³=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1；…；可能以推测，（x²+x+1）⁵展开式中，第五、六、七项的系数和是

141

．

Answer 1

分析：利用多项式乘法的法则得到各项的构成方法求出展开式各项的系数和．

解答：解：展开式的第五项是含x⁶的项；其构成是5个多项式3个出x²，其它都出1；5个多项式2个出x²，2个出x，其它出1；
5个多项式1个出x²，4个出x
其系数为C₅³+C₅²C₃²+C₅¹=45
展开式的第6项同样的方法其系数为C₅²C₃¹+C₅¹C₄³+1=51
展开式的第7项同样的方法其系数为C₅²+C₅¹C₄²+C₅⁴=45
所以展开式中，第五、六、七项的系数和是35+51+45=141
故答案为141

点评：本题考查利用分类计数原理和分布计数原理求出完成事件的方法数．