题目内容
设轮船A有两个发动机，轮船B有四个发动机，如果半数或半数以上的发动机没有故障，轮船就能够安全航行，现设每个发动机发生故障的概率P是t的函数：P=1-e-λt（其中t为发动机启动后所经历的时间，λ为正常数）．每个发动机工作相互独立．（1）分别求出轮船A，B安全航行的概率（用P表示）；
（2）根据时间t的变化，比较轮船A和轮船B哪一个更能安全航行？（除发动机发生故障外，不考虑其他因素）．
【答案】分析：（1）记轮船A，B安全航行为事件M、N，分析可得轮船A安全航行，即A的两个发动机中至少有一个正常工作，轮船B安全航行，即B的四个发动机中至少有二个正常工作，其对立事件B的四个发动机全部故障或只有一个正常工作，由相互独立事件概率的乘法公式，计算可得答案；
（2）由（1）的结论，做差可得：p（M）-p（N）=（1-p2）-（1+3p4-4p3）=-p2（p-1）（3p-1），分①p＜
，②p=
，③p＞
，三种情况讨论，分析p（M）与p（N）的大小，进而可得答案．
解答：解：（1）记轮船A，B安全航行为事件M、N，
轮船A安全航行，即A的两个发动机中至少有一个正常工作，则其对立事件为A的两个发动机都不能正常工作，
则P（M）=1-p2，
轮船B安全航行，即B的四个发动机中至少有二个正常工作，其对立事件B的四个发动机全部故障或只有一个正常工作，
则P（N）=1-p4-C41p3（1-p）=1+3p4-4p3，
（2）p（M）-p（N）=（1-p2）-（1+3p4-4p3）=-p2（p-1）（3p-1），
①当p＜
时，即1-e-λt＜
，解可得t＜
时，p（M）＜p（N），轮船B能安全航行，
②当p=
时，即1-e-λt=
，解可得t=
时，p（M）=p（N），轮船A、B一样安全航行，
③当p＞
时，即1-e-λt＞
，解可得t＞
时，p（M）＞p（N），轮船A更能安全航行，
答：当p＜
时，轮船B能安全航行，当p=
时，轮船A、B一样安全航行，当p＞
时，轮船A更能安全航行．
点评：本题考查概率的应用，关键是熟练运用相互独立事件概率乘法公式，用p表示出A、B正常航行的概率．
（2）由（1）的结论，做差可得：p（M）-p（N）=（1-p2）-（1+3p4-4p3）=-p2（p-1）（3p-1），分①p＜
，②p=，③p＞，三种情况讨论，分析p（M）与p（N）的大小，进而可得答案．解答：解：（1）记轮船A，B安全航行为事件M、N，
轮船A安全航行，即A的两个发动机中至少有一个正常工作，则其对立事件为A的两个发动机都不能正常工作，
则P（M）=1-p2，
轮船B安全航行，即B的四个发动机中至少有二个正常工作，其对立事件B的四个发动机全部故障或只有一个正常工作，
则P（N）=1-p4-C41p3（1-p）=1+3p4-4p3，
（2）p（M）-p（N）=（1-p2）-（1+3p4-4p3）=-p2（p-1）（3p-1），
①当p＜
时，即1-e-λt＜，解可得t＜时，p（M）＜p（N），轮船B能安全航行，②当p=
时，即1-e-λt=，解可得t=时，p（M）=p（N），轮船A、B一样安全航行，③当p＞
时，即1-e-λt＞，解可得t＞时，p（M）＞p（N），轮船A更能安全航行，答：当p＜
时，轮船B能安全航行，当p=时，轮船A、B一样安全航行，当p＞时，轮船A更能安全航行．点评：本题考查概率的应用，关键是熟练运用相互独立事件概率乘法公式，用p表示出A、B正常航行的概率．
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