Question

求证1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=

1

3

n(n+1)(n+2)．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是数学归纳法，要证明1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=

1

3

n(n+1)(n+2)成立，我们要先证明n=1时，等式成立，再假设n=k时，等式成立，进而求证n=k+1时，等式成立．

解答：证明：①当n=1时，左边=2，右边=

1

3

×1×2×3=2，等式成立；
②假设当n=k时，等式成立，
即1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)=

1

3

k(k+1)(k+2)
则当n=k+1时，
左边=

1

3

k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)=（k+1）（k+2）（

1

3

k+1）=

1

3

（k+1）（k+2）（k+3）
即n=k+1时，等式也成立．
所以1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=

1

3

n(n+1)(n+2)对任意正整数都成立．

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若 P（n）在n=1时成立； 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．