题目内容
(08年永定一中二模理)(12分)
如图,四棱锥中,底面
是边长为2的正方形,
,
且,
为
中点.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的大小;
(3)在线段上是否存在点
,使得点
到平面
的距离为
?若存在,确定
点的位置;若不存在,请说明理由.
解析:解法一:(1)证明:∵底面为正方形,
∴,又
,
∴平面
,
∴. …………………………………………………………………2分
同理, …………………………………………………………………3分
又.
∴平面
. ……………………………………………………………4分
(2)解:设为
中点,连结
,
又为
中点,
可得,从而
底面
.
过 作
的垂线
,垂足为
,连结
.
由三垂线定理有,
∴为二面角
的平面角. ………………………………6分
在中,可求得
∴. …………………………………7分
∴ 二面角的大小为
. …………………………………8分
(3)解:由为
中点可知,
要使得点到平面
的距离为
,
即要点到平面
的距离为
.
过 作
的垂线
,垂足为
,
∵平面
,
∴平面平面
,
∴平面
,
即为点
到平面
的距离.
∴,
∴. ………………………………………………11分
设,
由与
相似可得
,
∴,即
.
∴在线段上存在点
,且
为
中点,使得点
到平面
的距离为
.
……………………12分
解法二:
(1)证明:同解法一.
(2)解:建立如图的空间直角坐标系, ……………………………………5分
则.
设为平面
的一个法向量,
则,
.
又
令则
得. …………………………………………………………………6分
又是平面
的一个法向量,……………………………………7分
设二面角的大小为
,
则.
∴ 二面角的大小为
. ………………………………8分
(3)解:设为平面
的一个法向量,
则,
.
又,
令则
得. …………………………………………………………………10分
又
∴点到平面
的距离
,
∴,
解得,即
.
∴在线段上存在点
,使得点
到平面
的距离为
,且
为
中点.……12分
