题目内容

(08年永定一中二模理)(12分)

如图,四棱锥中,底面是边长为2的正方形,

中点.

(1)求证:平面;     

(2)求二面角的大小;

(3)在线段上是否存在点,使得点到平面的距离为?若存在,确定

的位置;若不存在,请说明理由.

解析:解法一:(1)证明:∵底面为正方形,

      ∴,又

      ∴平面

.      …………………………………………………………………2分

同理,   …………………………………………………………………3分

.

平面.  ……………………………………………………………4分

(2)解:设中点,连结

      又中点,

可得,从而底面

的垂线,垂足为,连结

      由三垂线定理有

为二面角的平面角.     ………………………………6分

中,可求得   

.                  …………………………………7分

∴ 二面角的大小为.   …………………………………8分

(3)解:由中点可知,

要使得点到平面的距离为

即要点到平面的距离为.

      过 的垂线,垂足为,

平面

∴平面平面

平面

为点到平面的距离.

.                 ………………………………………………11分

相似可得

,即

∴在线段上存在点,且中点,使得点到平面的距离为

……………………12分

解法二:

(1)证明:同解法一.

(2)解:建立如图的空间直角坐标系,   ……………………………………5分

.         

为平面的一个法向量,

 

 

.  …………………………………………………………………6分

是平面的一个法向量,……………………………………7分

设二面角的大小为

∴ 二面角的大小为.     ………………………………8分

(3)解:设为平面的一个法向量,

 

      令

. …………………………………………………………………10分

∴点到平面的距离

解得,即 .

∴在线段上存在点,使得点到平面的距离为,且中点.……12分

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