Question

某商店经营的消费品进价每件14元，月销售量Q（百件）与销售价格p（元）的关系如下图，每月各种开支2000元．
（1）写出月销售量Q（百件）与销售价格p（元）的函数关系；
（2）写出月利润y（元）与销售价格p（元）的函数关系；
（3）当商品价格每件为多少元时，月利润最大？并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得直线的斜率，由直线方程的点斜式方程可得解析式；
（2）利润=收入-成本，结合（1）可得答案；
（3）由（2）的分段函数，分别由二次函数的最值求解各段的最大值，比较出较大的即可．

解答：解：（1）当14≤P≤20时，直线过点（20，10），（14，22），
故可得斜率为k=

22-10

14-20

=-2，故所在直线的方程为Q-10=-2（p-20），
化简可得Q=-2p+50，同理可得，当20＜P≤26时，Q=-

3

2

p+40，
故可得Q=

-2P+50(14≤P≤20) - 3 2 P+40(20＜P≤26)

…（2分）
（2）结合（1）可知：当14≤P≤20时，y=100（P-14）（-2P+50）-2000
即y=-200（p²-39p+360）
当20＜P≤26时，y=100（p-14）（ -

3

2

p+40）-2000
即y=-50（3p²-122p+1160）…（4分）
所以y=

-200(P2-39P+360)     (14≤P≤20) -50(3P2-122P+1160)      (20＜P≤26)

…（5分）
（3）由（2）的解析式结合二次函数的知识可知：
当14≤P≤20时，当p=-

-39

2×1

=19.5时，函数取最大值4050，
当20＜P≤26时，当-

-122

2×3

=

61

3

时，函数取最大值

12050

3

＜4050
综上可得：当商品价格为19.5元时，利润最大，为4050元…（8分）

点评：本题考查分段函数的解析式，涉及图象的作法，属基础题．