题目内容

(14分)已知圆过点且与圆M:关于直线对称

  (1)判断圆与圆M的位置关系,并说明理由;

  (2)过点作两条相异直线分别与圆相交于

   ①若直线与直线互相垂直,求的最大值;

   ②若直线与直线轴分别交于,且,为坐标原点,试判断直线是否平行?请说明理由.

 

【答案】

(1) 圆M与圆C外切,理由略

(2) ①被圆所截得弦长之和的最大值为4

②直线一定平行,理由略。

【解析】解:(1)设圆心,则,解得

则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为

,又两半径之和为,圆M与圆C外切.

 

(2) ①设被圆所截得弦的中点分别为,弦长分别为,因为四边形是矩形,所以,即

,化简得

从而,(时取等号,此时直线PA,PB必有一条斜率不存在)综上:  被圆所截得弦长之和的最大值为4

另解:若直线PA与PB中有一条直线的斜率不存在,

则PA=PB=2,此时PA+PB=4.

若直线PA与PB斜率都存在,且互为负倒数,故可设,即

,() 点C到PA的距离为,同理可得点C到PB的距离为

<16,

综上:被圆所截得弦长之和的最大值为4

②直线平行,理由如下:

由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,

,由,得

因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得

同理,,

所以=

所以,直线一定平行.

 

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