题目内容
如图，椭圆
+
=1（a＞b＞0）上的点到左焦点为F的最大距离是
，已知点M（1，e）在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过原点且斜率为K的直线交椭圆于P、Q两点，其中P在第一象限，它在x轴上的射影为点N，直线QN交椭圆于另一点H．证明：对任意的K＞0，点P恒在以线段QH为直径的圆内．
【答案】分析：（Ⅰ）根据椭圆上的点到左焦点为F的最大距离是
，M（1，e）在椭圆上，建立方程组，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）设出直线QN的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积，即可得到结论．
解答：（Ⅰ）解：由题意，
，解得a2=4，b2=1
∴椭圆的方程为
；
（Ⅱ）证明：令P（x1，kx1），H（xH，yH），则Q（-x1，-kx1），N（x1，0）
∴kPN=
，∴直线QN的方程为y=
（x-x1），
代入
，整理得（1+k2）x2-2k2x1x+
=0
∴（-x1）+xH=
，∴xH=
+x1，
∴
=（-2x1，-2kx1），
=（
，
）
∴
=
∵k＞0，x1＞0，∴
＜0
∴对任意的k＞0，点P恒在以线段QH为直径的圆内．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
，M（1，e）在椭圆上，建立方程组，即可求椭圆的方程；（Ⅱ）设出直线QN的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积，即可得到结论．
解答：（Ⅰ）解：由题意，
，解得a2=4，b2=1∴椭圆的方程为
；（Ⅱ）证明：令P（x1，kx1），H（xH，yH），则Q（-x1，-kx1），N（x1，0）
∴kPN=
，∴直线QN的方程为y=（x-x1），代入
，整理得（1+k2）x2-2k2x1x+=0∴（-x1）+xH=
，∴xH=+x1，∴
=（-2x1，-2kx1），=（，）∴
=∵k＞0，x1＞0，∴
＜0∴对任意的k＞0，点P恒在以线段QH为直径的圆内．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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