题目内容
已知f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=
（1）求当x＜0时，f（x）的表达式
（2）判断f（x）在区间（0，+∞）的单调性，并用定义加以证明．
| x |
（1）求当x＜0时，f（x）的表达式
（2）判断f（x）在区间（0，+∞）的单调性，并用定义加以证明．
分析：（1）将所求转化到已知范围，结合奇偶性得解析式；
（2）根据函数单调性的定义证明．
（2）根据函数单调性的定义证明．
解答：解：（1）当x＜0时，-x＞0∴f(-x)=
又∵f（x）是R上的偶函数∴f（-x）=f（x）
∴x＜0时，f(x)=
．
（2）f（x）在区间（0，+∞）上单调递增
证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2
∴f(x1)-f(x2)=
-
=
，
∵x1，x2∈（0，+∞）
∴
+
＞0，
又x1＜x2，∴x1-x2＜0
则f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
| -x |
又∵f（x）是R上的偶函数∴f（-x）=f（x）
∴x＜0时，f(x)=
| -x |
（2）f（x）在区间（0，+∞）上单调递增
证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2
∴f(x1)-f(x2)=
| x1 |
| x2 |
| x1-x2 | ||||
|
∵x1，x2∈（0，+∞）
∴
| x1 |
| x2 |
又x1＜x2，∴x1-x2＜0
则f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
点评：本题考察函数的性质及应用，属中档题．（1）所用思想为：将未知转化为已知来求解；（2）中应注意分子有理化化简，不化简是不给得分的．
练习册系列答案
相关题目