题目内容
如右图所示,有一块半径为R的半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是⊙O的直径,且上底CD的端点在圆周上,写出梯形周长y关于腰长x的函数关系式,并求出它的定义域.
【答案】分析:如图所示,连接OD,OC,在△OAD中,若设∠AOD=θ,由余弦定理可得,cosθ=;在△OCD中,由∠COD=180°-2θ,可得DC2=2R2-2R2•cos(180°-2θ),从而得DC;即得梯形的周长y和x的取值范围.
解答:解:如图所示,连接OD,OC,则OC=OD=OA=OB=R,
在△OAD中,设∠AOD=θ,AD=x,由余弦定理,得
x2=2R2-2R2•cosθ,θ∈(0,90°),∴cosθ=;
在△OCD中,∠COD=180°-2θ,同理
DC2=2R2-2R2•cos(180°-2θ)=2R2(1+cos2θ)=2R2•2cos2θ=4R2•cos2θ,
∴DC=2R•cosθ=2R•=2R-;
所以梯形的周长:y=2R+2x+(2R-)=-+2x+4R;
∵x2=2R2-2R2•cosθ<2R2,∴x<R,∴定义域为(0,R).
点评:本题考查了余弦定理在解三角形中的应用,也考查了二倍角公式的灵活应用;解题时应细心计算,以避免出现错误.
解答:解:如图所示,连接OD,OC,则OC=OD=OA=OB=R,
在△OAD中,设∠AOD=θ,AD=x,由余弦定理,得
x2=2R2-2R2•cosθ,θ∈(0,90°),∴cosθ=;
在△OCD中,∠COD=180°-2θ,同理
DC2=2R2-2R2•cos(180°-2θ)=2R2(1+cos2θ)=2R2•2cos2θ=4R2•cos2θ,
∴DC=2R•cosθ=2R•=2R-;
所以梯形的周长:y=2R+2x+(2R-)=-+2x+4R;
∵x2=2R2-2R2•cosθ<2R2,∴x<R,∴定义域为(0,R).
点评:本题考查了余弦定理在解三角形中的应用,也考查了二倍角公式的灵活应用;解题时应细心计算,以避免出现错误.
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