题目内容
椭圆C的中心为坐标原点O，点A1，A2分别是椭圆的左、右顶点，B为椭圆的上顶点，一个焦点为F（
，0），离心率为
．点M是椭圆C上在第一象限内的一个动点，直线A1M与y轴交于点P，直线A2M与y轴交于点Q．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）若把直线MA1，MA2的斜率分别记作k1，k2，求证：k1k2=-
；
（III） 是否存在点M使|PB|=
|BQ|，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．
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（I）求椭圆C的标准方程；
（II）若把直线MA1，MA2的斜率分别记作k1，k2，求证：k1k2=-
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（III） 是否存在点M使|PB|=
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（I）由题意，可设椭圆C的方程为
+
=1（a＞b＞0），则c=
，
=
，
所以a=2，b2=a2-c2=1，
所以椭圆C的方程为
+y2=1．
（II）证明：由椭圆C的方程可知，点A1的坐标为（-2，0），点A2的坐标为（2，0），
设动点M的坐标为（x0，y0），由题意可知0＜x0＜2，y0＞0，
直线MA1的斜率k1=
＞0，直线MA2的斜率k2=
＜0，
所以k1k2=
，
因为点M（x0，y0）在椭圆
+y2=1上，
所以
+y02=1，即y02=1-
，
所以k1k2=
=-
；
（III）设直线MA1的方程为y=k1（x+2），令x=0，得y=2k1，所以点P的坐标为（0，2k1），
设直线MA2的方程为y=k2（x-2），令x=0，得y=-2k2，所以点Q的坐标为（0，-2k2），
由椭圆方程可知，点B的坐标为（0，1），
由|PB|=
|BQ|，得|1-2k1|=
|-2k2-1|，
由题意，可得1-2k1=
（-2k2-1），
整理得4k1-2k2=3，与k1k2=-
联立，消k1可得2k22+3k2+1=0，
解得k2=-1或k2=-
，
所以直线MA2的直线方程为y=-（x-2）或y=-
（x-2），
因为y=-
（x-2）与椭圆交于上顶点，不符合题意．
把y=-（x-2）代入椭圆方程，得5x2-16x+12=0，
解得x=
或2，
因为0＜x0＜2，所以点M的坐标为（
，
）．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| c |
| a |
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| 2 |
所以a=2，b2=a2-c2=1，
所以椭圆C的方程为
| x2 |
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（II）证明：由椭圆C的方程可知，点A1的坐标为（-2，0），点A2的坐标为（2，0），
设动点M的坐标为（x0，y0），由题意可知0＜x0＜2，y0＞0，
直线MA1的斜率k1=
| y0 |
| x0+2 |
| y0 |
| x0-2 |
所以k1k2=
| y02 |
| x02-4 |
因为点M（x0，y0）在椭圆
| x2 |
| 4 |
所以
| x02 |
| 4 |
| x02 |
| 4 |
所以k1k2=
1-
| ||
| x02-4 |
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（III）设直线MA1的方程为y=k1（x+2），令x=0，得y=2k1，所以点P的坐标为（0，2k1），
设直线MA2的方程为y=k2（x-2），令x=0，得y=-2k2，所以点Q的坐标为（0，-2k2），
由椭圆方程可知，点B的坐标为（0，1），
由|PB|=
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由题意，可得1-2k1=
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整理得4k1-2k2=3，与k1k2=-
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解得k2=-1或k2=-
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所以直线MA2的直线方程为y=-（x-2）或y=-
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因为y=-
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把y=-（x-2）代入椭圆方程，得5x2-16x+12=0，
解得x=
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因为0＜x0＜2，所以点M的坐标为（
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