Question

真命题：“经过双曲线

x2

4

-

y2

5

=1的左焦点作直线l交双曲线于M、N两点，当|MN|=5，则符合条件的直线有3条”将此命题推广到一般的双曲线，并且使已知命题是推广命题的特例，则推广的真命题可以是

经过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（0＜a＜b）的左焦点作直线l交双曲线于M、N两点，当|MN|=

2b2

a

时，则符合条件的直线有3条

．

Answer 1

分析：注意到|MN|=5正好是双曲线的通径

2b2

a

，从而类比得出结论．再根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB只与双曲线右支相交，②AB与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，可得符合条件的直线的数目，综合可得答案．

解答：解：推广的真命题可以是：经过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（0＜a＜b）的左焦点作直线l交双曲线于M、N两点，当|MN|=

2b2

a

时，则符合条件的直线有3条．证明如下：
若AB只与双曲线右支相交时，|AB|的最小距离是通径，长度为

2b2

a

，
此时只有一条直线符合条件；
若AB与双曲线的两支都相交时，此时|AB|的最小距离是实轴两顶点的距离，长度为2a，距离无最大值，
结合双曲线的对称性，可得此时有2条直线符合条件；
综合可得，有3条直线符合条件．
故答案为：经过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（0＜a＜b）的左焦点作直线l交双曲线于M、N两点，当|MN|=

2b2

a

时，则符合条件的直线有3条．

点评：本题考查进行简单的合情推理、直线与双曲线的关系，解题时可以结合双曲线的几何性质，分析直线与双曲线的相交的情况，分析其弦长最小值，从而求解；要避免由弦长公式进行计算．