Question

已知对于任意两个实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若f（-3）=2，求f（2）．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0可求得f（0）=0，令y=-x可得f（-x）+f（x）=0，根据奇函数的定义可作出判断；
（2）根据奇函数性质及f（-3）=2可求得f（3），再根据f（x+y）=f（x）+f（y）可求得f（1），从而可得f（2）=f（1）+f（1）；

解答：解：（1）取x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0），得f（0）=0；
取y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），即f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函数；
（2）∵f（x）是奇函数，∴f（3）=-f（-3）=-2，
又∵f（3）=f（1）+f（2）=f（1）+[f（1）+f（1）]=3f（1），
∴f(1)=-

2

3

，f(2)=f(1)+f(1)=-

4

3

．

点评：本题考查抽象函数奇偶性的判断及抽象函数求值，属中档题，抽象函数的性质常用定义解决．