题目内容
甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额都为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为
（n2-n+2）万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多(
)n-1a万元．
（1）设甲、乙两超市第n年销售额分别为an，bn，求an，bn的表达式；
（2）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年．
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（1）设甲、乙两超市第n年销售额分别为an，bn，求an，bn的表达式；
（2）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年．
分析：（1）利用Sn=
（n2-n+2），即an=Sn-Sn-1，可求an的表达式；n≥2时，bn-bn-1=（
）n-1a，利用bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1），可求bn的表达式；
（2）利用（1）中an，bn的表达式，代入求解，计算可得第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．
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（2）利用（1）中an，bn的表达式，代入求解，计算可得第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．
解答：解：（1）设甲超市前n年总销售额为Sn，则Sn=
（n2-n+2）．
因n=1时，a1=a；n≥2时，an=Sn-Sn-1=
（n2-n+2）-
[（n-1）2-（n-1）+2]=a（n-1），
故an=
又因b1=a，n≥2时，bn-bn-1=（
）n-1a．
故bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）
=a+
a+（
）2a+…+（
）n-1a=[1+
+（
）2+…+（
）n-1]a=
×a=[3-2•（
）n-1]a．
显然n=1也适合，故bn=[3-2•（
）n-1]a（n∈N*）．
（2）当n=2时，a2=a，b2=
a，有a2＞
b2；当n=3时，a3=2a，b3=
a，有a3＞
b3；
当n≥4时，an≥3a，而bn＜3a，故乙超市有可能被收购．
当n≥4时，令
an＞bn，则
（n-1）a＞[3-2•（
）n-1]a，∴n-1＞6-4•（
）n-1，即n＞7-4•（
）n-1．
又当n≥7时，0＜4•（
）n-1＜1，故当n∈N*且n≥7时，必有n＞7-4•（
）n-1．
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．
| a |
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因n=1时，a1=a；n≥2时，an=Sn-Sn-1=
| a |
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| a |
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故an=
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故bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）
=a+
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显然n=1也适合，故bn=[3-2•（
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（2）当n=2时，a2=a，b2=
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当n≥4时，an≥3a，而bn＜3a，故乙超市有可能被收购．
当n≥4时，令
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又当n≥7时，0＜4•（
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即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．
点评：本题考查数列的通项，考查叠加法，考查利用数列知识解决实际问题，确定数列的通项是关键．
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