Question

若直角坐标平面内的两个不同点M、N满足条件：
①M、N都在函数y=f（x）的图象上； 
②M、N关于原点对称．则称点对[M，N]为函数y=f（x）的一对“友好点对”．（注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”），已知函数f(x)=

log3x(x＞0) -x2-4x(x≤0)

，此函数的“友好点对”有

2对

．

Answer 1

分析：根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=-x²-4x（x≤0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log₃x（x＞0）交点个数即可．

解答：解：根据题意：当x＞0时，-x＜0，
则f（-x）=-（-x）²-4（-x）=-x²+4x，
则函数y=-x²-4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x²-4x（x≥0）
由题意知，作出函数y=x²-4x（x≥0）的图象及函数f（x）=log₃x（x＞0）的图象如下图所示
由图可得两个函数图象共有两个交点

即f（x）的“友好点对”有：2个．
故答案为：2

点评：本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．