Question

已知n条直线l₁：x-y+C₁=0，C₁=

2

，l₂：x-y+C₂=0，l₃：x-y+C₃=0，…，l_n：x-y+C_n=0（其中C₁＜C₂＜C₃＜…＜C_n），这n条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n．
（1）求C_n；
（2）求x-y+C_n=0与x轴、y轴围成的图形的面积；
（3）求x-y+C_n-1=0与x-y+C_n=0及x轴、y轴围成图形的面积．

Answer 1

分析：（1）易知直线在y轴上的截距是原点到直线的距离

2

倍，所以先求原点到直线的距离即可；
（2）在x轴和y轴上的截距互为相反数，由三角形面积公式结合（1）求得；
（3）由（2）分别求得两条直线与x轴和y轴围成的面积作差求解．

解答：解：（1）原点O到l₁的距离为1，原点O到l₂的距离为1+2，原点O到l_n的距离d_n为1+2++n=

n(n+1)

2

．
∵C_n=

2

d_n，
∴C_n=

2 n(n+1)

2

．
（2）设直线l_n：x-y+C_n=0交x轴于M，交y轴于N，则△OMN面积
S_△OMN=

1

2

|OM|•|ON|=

1

2

C_n²=

n2(n+1)2

4

．
（3）所围成的图形是等腰梯形，由（2）知S_n=

n2(n+1)2

4

，则有S_n-1=

(n-1)2•n2

4

．
∴S_n-S_n-1=

n2(n+1)2

4

-

(n-1)2•n2

4

=n³．
∴所求面积为n³．

点评：本题主要通过直线的斜率和截距，来考查直线围成平面图形问题的解法．