题目内容

给出定义在上的三个函数：，已知g（x）在x=1处取极值．
（Ⅰ）确定函数h（x）的单调性；
（Ⅱ）求证：当时，恒有成立；
（Ⅲ）把函数h（x）的图象向上平移6个单位得到函数h1（x）的图象，试确定函数的零点个数，并说明理由。

解：（Ⅰ）由题设，g（x）=x2-alnx，则g′（x）=2x-
由已知，g'（1）=0，即2-a=0
∴a=2
于是h（x）=x- ，则h′（x）=1-
由h′（x）=1-＞0
∴x＞1，
所以h（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数
证明：（Ⅱ）当1＜x＜e2时，0＜lnx＜2，即0＜f（x）＜2
欲证x＜，只需证x[2-f（x）]＜2+f（x），
即证f（x）＞
设φ（x）=f（x）- =lnx- ，
则φ′（x）=
当1＜x＜e2时，φ'（x）＞0，所以φ（x）在区间（1，e2）上为增函数．
从而当1＜x＜e2时，φ（x）＞φ（1）=0，即lnx＞，故x＜
解：（Ⅲ）由题设，h1（x）=x-+6．
令g（x）-h1（x）=0，则x2-2lnx-（x-+6）=0，即 -2lnx=-x2+x+6
设h2（x）=-2lnx， h3（x）=-x2+x+6（x＞0），
则h2′（x）= ，由＞0，得x＞4．
所以h2（x）在（4，+∞）上是增函数，在（0，4）上是减函数
又h3（x）在（0， ）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．
因为当x→0时，h2（x）→+∞，h3（x）→6．
又h2（1）=2，h3（1）=6，h2（4）=4-2ln4＞0，h3（4）=-6，
则函数h2（x）与h3（x）的大致图象如下：

由图可知，当x＞0时，两个函数图象有2个交点，
故函数y=g（x）-h1（x）有2个零点．
练习册系列答案
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给出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x2-af（x），h(x)=x-a
x
，已知g（x）在x=1处取极值．
（1）确定函数h（x）的单调性；
（2）求证：当1＜x＜e2时，恒有x＜
2+f(x)
2-f(x)
成立．
给出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x2-mf（x），h(x)=x-m
x
，已知g（x）在x=1处取极值．
（1）求m的值及函数h（x）的单调区间；
（2）求证：当x∈（1，e2）时，恒有
2+f(x)
2-f(x)
＞x成立．

给出定义在上的三个函数：

，，.已知在处取极值.

（1）确定函数的单调性；

（2）求证：当时，恒有成立；

（3）把函数的图象向上平移6个单位得到函数的图象，试确定函数的

零点个数，并说明理由.

（本大题满分12分）

        给出定义在上的三个函数：，已知处取极值.

   （I）确定函数的单调性；

   （II）求证：当成立.

   （III）把函数的图象向上平移6个单位得到函数的图象，试确定函数的零点个数，并说明理由。