题目内容

（1）设a＞0，解关于y的不等式y2-2(
a
+
1
a
)y+1≤0；
（2）对于任意给定的a≥2，由（1）所确定的y解集（用区间表示）记为I（a），我们规定：区间[m，n]的长度为n-m．如果I（a）的长度为r（a），试求当a取什么值时，r（a）取得最小值，并求r（a）的最小值及此时的I（a）．
分析：（1）由a＞0，解方程y2-2（
a
+
1
a
）y+1=0，得y1=
a
+
1
a
-
a+
1
a
+1
，y2=
a
+
1
a
+
a+
1
a
+1
，由此能求出关于y的不等式y2-2(
a
+
1
a
)y+1≤0的解集．
（2）设y=x+
1
x
+1，利用导数能求出y=x+
1
x
+1在[2，+∞）内是增函数．故a≥2，r（a）=（
a
+
1
a
+
a+
1
a
+1
=2
a+
1
a
+1
≥
14
．由此能求出当a取什么值时，r（a）取得最小值，并能求出r（a）的最小值及此时的I（a）．
解答：解：（1）∵a＞0，y2-2(
a
+
1
a
)y+1≤0，
∴△=4（
a
+
1
a
）2-4=4（a+
1
a
+1）＞0，
解方程y2-2（
a
+
1
a
）y+1=0，
得y1=
a
+
1
a
-
a+
1
a
+1
，y2=
a
+
1
a
+
a+
1
a
+1
，
∴关于y的不等式y2-2(
a
+
1
a
)y+1≤0的解集为：
[
a
+
1
a
-
a+
1
a
+1
，
a
+
1
a
+
a+
1
a
+1
]．
（2）设y=x+
1
x
+1，则y′=1-
1
x2
，当x≥2时，y′＞0，
∴y=x+
1
x
+1在[2，+∞）内是增函数．
∵a≥2，区间[m，n]的长度为n-m，
∴r（a）=（
a
+
1
a
+
a+
1
a
+1
）-（
a
+
1
a
-
a+
1
a
+1
）
=2
a+
1
a
+1
≥
14
．
当a=2时，r（a）取最小值
14
，
此时I（a）=[
3
2
-
14
2
，
3
2
+
14
2
]．
点评：本题以一元二次不等式为载体考查函数的性质及其应用，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的灵活运用．
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＜0．
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x
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