Question

（不等式选讲）设函数f（x）=lg（|x+3|-|x-7|），若不等式f（x）＞m有解，则m的取值范围是

（-∞，1）

．

Answer 1

分析：解决不等式f（x）＞m有解恒成立问题，可将问题转化为研究函数f（x）的最大值大于m即可．

解答：解：∵f（x）=lg（|x+3|-|x-7|），
|x+3|-|x-7|＞0，
由对数定义及绝对值的几何意义知0＜|x+3|-|x-7|≤10，
设|x+3|-|x-7|=t，则0＜t≤10，
∵f（t）=lgt在（0，+∞）上为增函数，
∴f（t）=lgt≤lg10=1．
∵f（x）＞m有解，
故只需m＜1即可，
即m＜1时，f（x）＞m恒成立．
∴m的取值范围是（-∞，1）．
故答案为：（-∞，1）．

点评：本题考查了对数的运算性质，以及绝对值的几何意义的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．