Question

16．以下命题正确的有①．
①数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+2n（n∈N⁺）则$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$≥$\frac{1}{5}$；
②数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n-1（n∈N⁺），则a₁₁=1023；
③数列{a_n}满足a_n+1=1-$\frac{1}{4{a}_{n}}$，b_n=$\frac{2}{2{a}_{n}-1}$（n∈N⁺），则{b_n}是从第二项起的等比数列；
④已知a₁+3a₂+5a₃+…+（2n-1）a_n=2ⁿ⁺¹（n∈N+），则an=2^n-1．

Answer 1

分析 由数列的通项和求和的关系，可得a_n=S_n-S_n-1=2n+1，再由数学归纳法，即可判断①；
运用构造数列，结合等比数列的通项，即可判断②；
对条件进行变形，构造等差数列，即可判断④；将n换为n-1，作差，即可判断④．

解答 解：对于①，a₁=S₁=3，n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-（n-1）²-2（n-1）=2n+1，
当n=1时，$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{5}$成立，设n=k，有$\frac{1}{2k+3}$+$\frac{1}{{a}_{2k+5}}$+…+$\frac{1}{4k+1}$≥$\frac{1}{5}$，则n=k+1时，$\frac{1}{2k+5}$+$\frac{1}{2k+7}$+…+$\frac{1}{4k+1}$+$\frac{1}{4k+3}$+$\frac{1}{4k+5}$=（$\frac{1}{2k+3}$+$\frac{1}{{a}_{2k+5}}$+…+$\frac{1}{4k+1}$）+$\frac{1}{4k+3}$+$\frac{1}{4k+5}$-$\frac{1}{2k+3}$
≥$\frac{1}{5}$+$\frac{8k+9}{（4k+3）（4k+5）（2k+3）}$≥$\frac{1}{5}$，综上可得不等式成立，故①正确；
对于②，a₁=2，a_n+1=2a_n-1，即有a_n+1-1=2（a_n-1），再由a_n-1=（a₁-1）•2^n-1，即为a_n=1+2^n-1，
则a₁₁=1025，故②不正确；
对于③，数列{a_n}满足a_n+1=1-$\frac{1}{4{a}_{n}}$，可得2a_n+1=2-$\frac{1}{2{a}_{n}}$，即2a_n+1-1=1-$\frac{1}{2{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n}-1}{2{a}_{n}}$，
即有$\frac{1}{2{a}_{n+1}-1}$=$\frac{2{a}_{n}}{2{a}_{n}-1}$=1+$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$，即有$\frac{2}{2{a}_{n}-1}$-$\frac{2}{2{a}_{n-1}-1}$=2，
则{b_n}是从第二项起的等差数列，故③不正确；
对于④，a₁+3a₂+5a₃+…+（2n-1）a_n=2ⁿ⁺¹（n∈N+），即有a₁=4，
当n＞1时，a₁+3a₂+5a₃+…+（2n-3）a_n-1=2ⁿ，相减可得（2n-1）a_n=2ⁿ，
则a_n=$\frac{{2}^{n}}{2n-1}$，对n=1也成立，故④不正确．
故答案为：①

点评 本题考查数列的通项与求和，注意运用数列的通项和求和的关系，考查作差法和构造数列法，属于中档题和易错题．