Question

A、B、C是我军三个炮兵阵地，A在B的正东方向相距6千米，C在B的北30°西方向，相距4千米，P为敌炮阵地．某时刻，A发现敌炮阵地的某信号，由于B、C比A距P更远，因此，4秒后，B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1千米）．若从A炮击敌阵地P，求炮击的方位角．

Answer 1

分析：建立坐标系，因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上，写出中垂线的方程，又|PB|-|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上，写出双曲线方程，将这两个方程联立方程组，解出交点P的坐标，由PA斜率计算炮击的方位角．

解答：解：以线段AB的中点为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，则A(3，0) B(-3，0)C(-5，2

3

)
依题意|PB|-|PA|=4
∴P在以A、B为焦点的双曲线的右支上．这里a=2，c=3，b²=5．其方程为 

x2

4

-

y2

5

=1  (x＞0)…（3分）
又|PB|=|PC|，∴P又在线段BC的垂直平分线上x-

3

y+7=0…（5分）
由方程组

x- 3 y+7=0 5x2-4y2=20

解得   

x=8(负值舍去) y=5 3

即 P(8，5

3

)…（8分）
由于kAP=

3

，可知P在A北30°东方向．…（10分）

点评：本题主要考查了双曲线方程的应用、解三角形的实际应用．要充分利用三角形的边角关系，利用三角函数、正弦定理、余弦定理等公式找到问题解决的途径．