Question

“星光大道”是备受观众喜爱的央视栏目，现有3位周冠军A、B、C和甲、乙两位挑战者参加12月的月冠军比赛，比赛规则：第一轮甲、乙两位挑战者从3位周冠军中各选一位周冠军进行比赛，胜者进入第二轮比赛，未被选中的周冠军直接进入第二轮比赛，第二轮比赛从3位选手中淘汰一位选手，胜者进入第三轮比赛，第三轮比赛的胜者为月冠军．假设每轮比赛每位选手被淘汰的可能性相等．
（1）求周冠军A、B和挑战者甲、乙进入第一轮比赛且至少有一位挑战者进入第二轮比赛的概率．
（2）求月冠军是挑战者的概率．
（3）设进入第三轮比赛的挑战者的人数ξ，求ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（1）周冠军A、B和挑战者甲、乙进入第一轮比赛的概率为

1

2

，至少有1位挑战者进入第二轮比赛的概率为

3

4

，由此能求出周冠军A、B和挑战者甲、乙进入第一轮比赛且至少有1位挑战者进入第二轮比赛的概率．
（2）由恰有1位挑战者进入第三轮比赛并在第三轮比赛中获胜的概率为

1

6

，有2位挑战者进入第二轮比赛，但只有1位进入第三轮比赛并在第三轮比赛中获胜的概率为

1

6

，由此能求出月冠军是挑战者的概率．
（3）由题意得ξ=0，1，2，P（ξ=0）=

5

12

，P（ξ=1）=

1

2

，P（ξ=2）=

1

12

，由此能求出ξ的分布列和ξ的数学期望Eξ．

解答：解：（1）周冠军A、B和挑战者甲、乙进入第一轮比赛的概率为

A 2 2

C 1 3 C 1 2

=

1

2

，
至少有1位挑战者进入第二轮比赛的概率为

C

1 2

×

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

2

=

3

4

，
∴周冠军A、B和挑战者甲、乙进入第一轮比赛且至少有1位挑战者进入第二轮比赛的概率为

1

3

× 

3

4

=

1

4

．
（2）∵恰有1位挑战者进入第三轮比赛并在第三轮比赛中获胜的概率为

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

2

=

1

6

，
有2位挑战者进入第二轮比赛，但只有1位进入第三轮比赛并在第三轮比赛中获胜的概率为

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

2

=

1

6

，
有2位挑战者进入第二轮比赛并全部进入第三轮比赛的概率为

1

2

×

1

2

×

1

3

=

1

12

，
故月冠军是挑战者的概率为

1

3

×

3

4

=

1

4

．
（3）由题意得ξ=0，1，2，
由（2）得P（ξ=0）=

1

2

× 

1

2

+

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×

1

3

=

5

12

，
P（ξ=1）=

1

2

×

1

2

×

2

3

+

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×

2

3

=

1

2

，
P（ξ=2）=

1

2

×

1

2

×

1

3

=

1

12

，
∴ξ的分布列如下表：

ξ	0	1	2
P	5 12	1 2	1 12

∴Eξ的数学期望Eξ=0×

5

12

+1×

1

2

+2×

1

12

=

2

3

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想．