题目内容

对函数y=f（x）（x1≤x≤x2），设点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上的两端点，O为坐标原点，且点N满足=+（1-λ），λ≥0，点M（x，y）在函数y=f（x）的图象上，且x=λx1+（1-λ）x2，则称|MN|的最大值为函数的“高度”，则函数f（x）=x2-2x-1在区间[-1，3]上的“高度”为    ．
【答案】分析：利用向量共线即可得出点N的坐标及λ的取值范围、利用两点间的距离公式即可得出|MN|、再二次函数的单调性即可得出．
解答：解：由函数f（x）=x2-2x-1及区间[-1，3]可得区间端点A（-1，2），B（3，2）．
∴=（3-4λ，2），∴N（3-4λ，2）；
∵点N满足=+（1-λ），λ≥0，∴0≤λ≤1．
∴xM=3-4λ，yM=（3-4λ）2-2（3-4λ）-1=16λ2-16λ+2，
∴|MN|==|16λ2-16λ|=，
∵λ∈[0，1]，∴，，
∴|MN|≤4．
∴函数f（x）=x2-2x-1在区间[-1，3]上的“高度”为4．
故答案为4．
点评：正确理解新定义、向量共线、二次函数的单调性是解题的关键．
练习册系列答案
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对函数y=f（x）=4sin（2x+
π
3
）（x∈R）有下列命题：
①函数y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x-
π
6
）
②函数y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数
③函数y=f（x）的图象关于点（-
π
6
，0）对称
④函数y=f（x）的图象关于直线x=-
π
6
对称
其中正确的命题是
 
．
对函数y=f（x）（x1≤x≤x2），设点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上的两端点，O为坐标原点，且点N满足
ON
=λ
OA
+（1-λ）
OB
，λ≥0，点M（x，y）在函数y=f（x）的图象上，且x=λx1+（1-λ）x2，则称|MN|的最大值为函数的“高度”，则函数f（x）=x2-2x-1在区间[-1，3]上的“高度”为
4
4
．
我们给出如下定义：对函数y=f（x），x∈D，若存在常数C（C∈R），对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得
f(x1)+f(x2)
2
=C，则称函数f（x）为“和谐函数”，称常数C为函数f（x）的“和谐数”．
（1）判断函数f（x）=x+1，x∈[-1，3]是否为“和谐函数”？答：
 
．（填“是”或“否”）如果是，写出它的一个“和谐数”：
 
．（4分）
（2）证明：函数g（x）=lgx，x∈[10，100]为“和谐函数”，
3
2
是其“和谐数”；
（3）判断函数u（x）=x2，x∈R是否为和谐函数，并作出证明．
若对函数y=f（x）定义域内的每一个值x1，都存在唯一的值x2，使得f（x1）f（x2）=1成立，则称此函数为“黄金函数”，给出下列三个命题：
①y=x-2是“黄金函数”；
②y=lnx是“黄金函数”；
③y=2x是“黄金函数”，
其中正确命题的序号是
③
③
．
函数y=sin(2x+
π
2
)+1，x∈R，则对函数y=f（x）描述正确的是（　　）

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