Question

已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点P（x，y）（x≠0）的切线方程为y-y=2ax（x-x）（a为常数）．
（I）求抛物线方程；
（II）斜率为k₁的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为k₂的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足k₂+λk₁=0（λ≠0，λ≠-1），，求证线段PM的中点在y轴上；
（III）在（II）的条件下，当λ=1，k₁＜0时，若P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）设出抛物线的标准方程，利用过点P的切线方程求得p，则椭圆的方程可得．
（II）把直线PA的方程与抛物线的方程联立消去y，分别表示出x_A和x_B，根据k₂+λk₁=0和，求得x_M=-x．进而推断出线段PM的中点在y轴上．
（III）利用λ的值和P的坐标求得a，进而表示出A，B的坐标，求得和的表达式，根据∠PAB为钝角，且P，A，B不共线，判断出．求得关于k₁的不等式，求得k₁的范围，进而求得点A的纵坐标范围，最后∠PAB为钝角时点A的坐标的取值范围．
解答：解：（I）由题意可设抛物线的方程为x²=-2py（p＞0），
由过点p（x，y）（x≠0）的切线方程为y-y=2ax（x-x），得
∴，
．
∴抛物线的方程为y=ax²（a＜0）．
（II）直线PA的方程为y-y=k₁（x-x），'
∴ax²-k₁x+k₁x-y=0，∴．
同理，可得．
∵k₂+λk₁=0，∴k₂=-λk₁，．
又，
∴x_M-x_B=λ（x_A-x_M），．
∴线段PM的中点在y轴上．
（III）由λ=1，P（1，-1），可知a=-1．
∴A（-k₁-1，-（k₁+1）²），B（k₁-1，-（k₁-1）²）．
∴，．
∵∠PAB为钝角，且P，A，B不共线，
∴．
即（2+k₁）•2k₁+（k₁²+2k₁）•4k₁＜0．
∴k₁（2k₁²+5k₁+2）＜0．
∵k₁＜0，
∴2k₁²+5k₁+2＞0．
∴．
又∵点A的纵坐标y_A=-（k₁+1）²，
∴当k₁＜-2时，y_A＜-1；
当＜k₁＜0时，-1＜y_A＜-．
∴∠PAB为钝角时点A的坐标的取值范围为．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解这种类型的题要充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．