题目内容
已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴的负半轴上,过其上一点P(x,y)(x≠0)的切线方程为y-y=2ax(x-x)(a为常数).(I)求抛物线方程;
(II)斜率为k1的直线PA与抛物线的另一交点为A,斜率为k2的直线PB与抛物线的另一交点为B(A、B两点不同),且满足k2+λk1=0(λ≠0,λ≠-1),

(III)在(II)的条件下,当λ=1,k1<0时,若P的坐标为(1,-1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.
【答案】分析:(I)设出抛物线的标准方程,利用过点P的切线方程求得p,则椭圆的方程可得.
(II)把直线PA的方程与抛物线的方程联立消去y,分别表示出xA和xB,根据k2+λk1=0和
,求得xM=-x.进而推断出线段PM的中点在y轴上.
(III)利用λ的值和P的坐标求得a,进而表示出A,B的坐标,求得
和
的表达式,根据∠PAB为钝角,且P,A,B不共线,判断出
.求得关于k1的不等式,求得k1的范围,进而求得点A的纵坐标范围,最后∠PAB为钝角时点A的坐标的取值范围.
解答:解:(I)由题意可设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),
由过点p(x,y)(x≠0)的切线方程为y-y=2ax(x-x),得
∴
,
.
∴抛物线的方程为y=ax2(a<0).
(II)直线PA的方程为y-y=k1(x-x),
'
∴ax2-k1x+k1x-y=0,∴
.
同理,可得
.
∵k2+λk1=0,∴k2=-λk1,
.
又
,
∴xM-xB=λ(xA-xM),
.
∴线段PM的中点在y轴上.
(III)由λ=1,P(1,-1),可知a=-1.
∴A(-k1-1,-(k1+1)2),B(k1-1,-(k1-1)2).
∴
,
.
∵∠PAB为钝角,且P,A,B不共线,
∴
.
即(2+k1)•2k1+(k12+2k1)•4k1<0.
∴k1(2k12+5k1+2)<0.
∵k1<0,
∴2k12+5k1+2>0.
∴
.
又∵点A的纵坐标yA=-(k1+1)2,
∴当k1<-2时,yA<-1;
当
<k1<0时,-1<yA<-
.
∴∠PAB为钝角时点A的坐标的取值范围为
.
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.解这种类型的题要充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用.
(II)把直线PA的方程与抛物线的方程联立消去y,分别表示出xA和xB,根据k2+λk1=0和

(III)利用λ的值和P的坐标求得a,进而表示出A,B的坐标,求得



解答:解:(I)由题意可设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),
由过点p(x,y)(x≠0)的切线方程为y-y=2ax(x-x),得
∴


∴抛物线的方程为y=ax2(a<0).
(II)直线PA的方程为y-y=k1(x-x),

∴ax2-k1x+k1x-y=0,∴

同理,可得

∵k2+λk1=0,∴k2=-λk1,

又

∴xM-xB=λ(xA-xM),

∴线段PM的中点在y轴上.
(III)由λ=1,P(1,-1),可知a=-1.
∴A(-k1-1,-(k1+1)2),B(k1-1,-(k1-1)2).
∴


∵∠PAB为钝角,且P,A,B不共线,
∴

即(2+k1)•2k1+(k12+2k1)•4k1<0.
∴k1(2k12+5k1+2)<0.
∵k1<0,
∴2k12+5k1+2>0.
∴

又∵点A的纵坐标yA=-(k1+1)2,
∴当k1<-2时,yA<-1;
当


∴∠PAB为钝角时点A的坐标的取值范围为

点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.解这种类型的题要充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用.

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