Question

8．已知f（x）=x（1+lnx），若k∈Z，且k（x-2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则k的最大值为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 f（x）=x（1+lnx），所以k（x-2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，即k＜$\frac{x（1+lnx）}{x-2}$对任意x＞2恒成立，求出右边函数的最小值，即可求k的最大值．

解答 解：f（x）=x（1+lnx），所以k（x-2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，
即k＜$\frac{x（1+lnx）}{x-2}$对任意x＞2恒成立．
令g（x）=$\frac{x（1+lnx）}{x-2}$，则g′（x）=$\frac{x-2lnx-4}{（x-2）^{2}}$，
令h（x）=x-2lnx-4（x＞2），则h′（x）=1-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$，
所以函数h（x）在（2，+∞）上单调递增．
因为h（8）=4-2ln8＜0，h（9）=5-2ln9＞0，
所以方程h（x）=0在（2，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（8，9）．
当2＜x＜x₀时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x₀时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，
所以函数g（x）=$\frac{x（1+lnx）}{x-2}$在（2，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．
又x₀-2lnx₀-4=0，所以2lnx₀=x₀-4，故1+lnx₀=$\frac{1}{2}$x₀-1，
所以[g（x）]_min=g（x₀）=$\frac{{x}_{0}（1+ln{x}_{0}）}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{x}_{0}（\frac{1}{2}{x}_{0}-1）}{{x}_{0}-2}$=$\frac{1}{2}$x₀∈（4，4.5）
所以k＜[g（x）]_min=$\frac{{x}_{0}（1+ln{x}_{0}）}{{x}_{0}-2}$=$\frac{1}{2}$x₀∈（4，4.5）．
故整数k的最大值是4．
故选：B．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的最值，正确求导是关键．