Question

在下列函数中，
①y=|x+

1

x

|；
②y=

x2+2

x2+1

；
③y=log₂x+log_x2（x＞0，且x≠1）；
④0＜x＜

π

2

，y=tanx+cotx；
⑤y=3^x+3^-x；
⑥y=x+

4

x

-2；
⑦y=

x

+

4

x

-2；
⑧y=log₂x²+2；
其中最小值为2的函数是

①②④⑤⑦

（填入正确命题的序号）

Answer 1

分析：通过给变量取特殊值，举反例可得③⑥不满足条件；利用基本不等式可得①②④⑤⑦满足条件．

解答：解：由基本不等式可得，当x=1 或x=-1时，y=|x+

1

x

|有最小值等于2，故①满足条件．
y=

x2+2

x2+1

=

x2+1

+

1

x2+1

≥2，当且仅当x=0时，等号成立，故②满足条件．
当x=

1

2

时，y=log₂x+log_x2=-1+（-1）=-2，故③不满足条件．
由于 0＜x＜

π

2

时，tanx＞0，故 y=tanx+cotx≥2，故④满足条件．
由基本不等式可得 y=3^x+3^-x≥2，当且仅当x=0时，等号成立，故⑤满足条件．
当x＜0 时，y=x+

4

x

-2＜-2，故⑥不满足条件．
由基本不等式可得y=

x

+

4

x

-2≥4-2，当且仅当x=4时，等号成立，故⑦满足条件．
当x=

1

2

时，y=log₂x²+2=0，故⑧不满足条件．
故答案为：①②④⑤⑦．

点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件．通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．