题目内容

(本小题满分12分)
已知抛物线经过椭圆的两个焦点.设,又不在轴上的两个交点,若的重心(中线的交点)在抛物线上,

(1)求的方程.
(2)有哪几条直线与都相切?(求出公切线方程)

(1) 抛物线的方程为:, 椭圆的方程为:
(2) 有3条直线都相切.

解析试题分析:.解:(1)因为抛物线经过椭圆的两个焦点,       
所以,即,由 ,             
椭圆的方程为: ,联立抛物线的方程         
得:, 解得:(舍去),所以 ,
,所以的重心坐标为.        
因为重心在上,所以,得.所以.              
所以抛物线的方程为:, 椭圆的方程为:.      
(2)因抛物线开口向下且关于y轴对称,所以与x轴垂直的直线都不是其切线。
所以可设直线y=kx+m与都相切,                            
则由有相等实根                    
                     
  
有3条直线都相切.
考点:抛物线和椭圆的方程的求解
点评:解决的关键是利用方程的性质得到a,bc的值,同时利用线圆相切的关系来分析结论,属于基础题。

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