题目内容
(本小题满分12分)
已知抛物线:经过椭圆:的两个焦点.设,又为与不在轴上的两个交点,若的重心(中线的交点)在抛物线上,
(1)求和的方程.
(2)有哪几条直线与和都相切?(求出公切线方程)
(1) 抛物线的方程为:, 椭圆的方程为:
(2) 有3条直线与和都相切.
解析试题分析:.解:(1)因为抛物线经过椭圆的两个焦点,
所以,即,由 ,
椭圆的方程为: ,联立抛物线的方程
得:, 解得:或(舍去),所以 ,
即,所以的重心坐标为.
因为重心在上,所以,得.所以.
所以抛物线的方程为:, 椭圆的方程为:.
(2)因抛物线:开口向下且关于y轴对称,所以与x轴垂直的直线都不是其切线。
所以可设直线y=kx+m与和都相切,
则由有相等实根
有3条直线与和都相切.
考点:抛物线和椭圆的方程的求解
点评:解决的关键是利用方程的性质得到a,bc的值,同时利用线圆相切的关系来分析结论,属于基础题。
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