Question

正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成角为60°，过底面一边作一截面使其与底面成30°的二面角，则此截面的面积为

3

8

．

Answer 1

分析：由于此题为正三棱锥且已知底面边长为a，作出顶点S在底面内的投影点O，由于为正三棱锥，所以S在底面内的投影点为三角形ABC的中心，连接SO，取边AB的中点，利用二面角的定义可以求出∠DEC即为二面角的平面角，∠DEC=60°即为侧棱与底面成角且值为60°，利用三角形的面积公式即可求出．

解答：解：∵三棱锥S-ABC底面△ABC边长为a，
侧棱与底面成角为60°，
过底面一边作一截面使其与底面成30°的二面角，
∴如图，E为AB中点，
CE=

3

2

BC=

3

2

a，
∠DEC=30°，∠DCE=60°，
∴∠EDC=90°，
∴DE=CE•sin60°=

3

2

a•

3

2

=

3

4

a，
∴S_△ADB=

1

2

•a•

3

4

a=

3

8

a²．
故答案为

3

8

a²．

点评：此题中点考查了学生的空间想象能力，还考查了三棱锥的定义及在三角形中利用边角关系求解三角形，还考查了线面角与二面角的定义及学生的计算三角形的计算能力．本题综合性强，难度大，易出错，解题时要认真审题，仔细解答．