Question

某中学食堂定期从粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输费  100元．食堂每天需用大米l吨，贮存大米的费用为每吨每天2元（不满一天按一天计），假  定食堂每次均在用完大米的当天购买．
（1）该食堂隔多少天购买一次大米，可使每天支付的总费用最少？
（2）粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折（即原价的95%），问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设每n天购一次，即购n吨，则库存总费用为2[n+（n-1）+…+2+1]=n（n+1）．即可得到平均每天费用y₁=

1

n

[n(n+1)+100]+1500，利用基本不等式即可得出最小值．
（2）若接受优惠，每m天购一次，即购m吨（m≥20），则平均每天费用y₂=

1

m

[m(m+1)+100]+1500×0.95．利用导数研究其单调性，即可得出其最小值．

解答：解：（1）设每n天购一次，即购n吨，则库存总费用为2[n+（n-1）+…+2+1]=n（n+1）．
则平均每天费用y₁=

1

n

[n(n+1)+100]+1500=n+

100

n

+1501≥1521．当且仅当n=10时取等号．
∴该食堂隔10天购买一次大米，可使每天支付的总费用最少．
（2）若接受优惠，每m天购一次，即购m吨（m≥20），则平均每天费用y₂=

1

m

[m(m+1)+100]+1500×0.95
=m+

100

m

+1426（m∈[20，+∞））．
令f（m）=m+

100

m

(m∈[20，+∞))．
则f′(m)=1-

100

m2

=

m2-100

m2

＞0，
故当m∈[20，+∞）时，函数f（m）单调递增，
故当m=20时，（y₂）_min=1451＜1521．
∴食堂可接受此优惠条件．

点评：正确审请题意，利用等差数列的前n项和公式得出表达式，熟练掌握基本不等式求最值和利用导数研究函数的单调性等是解题的关键．