Question

已知关于x的函数y=cos²x-4αsinx-3α（α∈R）的最大值M（α）
（1）求M（α）
（2）求M（α）的最小值．

Answer 1

分析：（1）化简得y=-（sinx+2α）²+4α²-3α+1，通过对α范围的讨论即可求得M（α）；
（2）由M（α）=

α，       α＞ 1 2 4α2-3α+1，- 1 2 ≤α≤ 1 2 -7α，α＜- 1 2

，可求得M（α）的最小值．

解答：解：（1）y=cos²x-4αsinx-3α=（1-sin²x）-4αsinx-3α=-（sinx+2α）²+4α²-3α+1…1分
令sinx=t∈[-1，1]，则y=-（t+2α）²+4α²-3α+1…2分
①若-2α＜-1，即α＞

1

2

，则当t=-1时，M（α）=-（-1+2α）²+4α²-3α+1=α…4分
②若-1≤-2α≤1，即-

1

2

≤α≤

1

2

，则当t=-2α时，M（α）=4α²-3α+1…6分
③若-2α＞1，即α＜-

1

2

，则当t=1时，M（α）=-（1+2α）²+4α²-3α+1=-7α…8分
综上，M（α）=

α，       α＞ 1 2 4α2-3α+1，- 1 2 ≤α≤ 1 2 -7α，α＜- 1 2

…9分
（2）当α＜-

1

2

时，M（α）=-7α＞

7

2

，
当α＞

1

2

时，M（α）=α＞

1

2

…11分
当-

1

2

≤α≤

1

2

时，M（α）=4α²-3α+1=4(α-

3

8

)2+

7

16

，对称轴为α=

3

8

∈[-

1

2

，

1

2

]，
∴当α=

3

8

时，M（α）取到最小值

7

16

…13分
综上比较得，α=

3

8

时，M（α）取到最小值

7

16

…14分

点评：本题考查复合三角函数的单调性，着重考查分段函数的应用，突出二次函数的配方法与最值的确定，考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于难题．