Question

【题目】已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.

（1）求圆的方程；

（2）若直线过点且与圆交于两点（在轴上方，在轴下方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且.

【解析】

试题分析：（1）由于圆心在轴上，故可设圆心的坐标，然后利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解方程就可以求出圆心为原点，进而求得圆的方程；（2）当直线轴时，轴平分，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立直线的方程和圆的方程，写出根与系数关系，，根据轴平分，，代入根与系数关系化简后可得点的坐标为.

试题解析：

（1）设圆心，则或（舍），所以圆.

（2）当直线轴时，轴平分，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

，，由

得：，∴，，

若轴平分，则

，

所以当点时，能使得总成立.