题目内容

已知函数 $数学公式$ ，且该函数图象相邻两对称轴间的距离为 $数学公式$ ．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若不等式 $数学公式$ 成立，求实数m的取值范围．

解：（I）∵函数 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sinωx+ $\text{[math]}$ cosωx+ $\text{[math]}$ cosωx+ $\text{[math]}$ sinωx
= $\text{[math]}$ （sinωx+cosωx）= $\text{[math]}$ sin（ωx+ $\text{[math]}$ ）．
∵该函数图象相邻两对称轴间的距离为 $\text{[math]}$ ，∴函数f（x）的最小正周期为π，
即 $\text{[math]}$ =π，ω=2，f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）．
（II）∵不等式 $\text{[math]}$ 成立，∴ $\text{[math]}$ sin（2m+ $\text{[math]}$ ）≥ $\text{[math]}$ ，
∵sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≥ $\text{[math]}$ ．
∴2kπ- $\text{[math]}$ ≤2m+ $\text{[math]}$ ）≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z．解得 kπ- $\text{[math]}$ ≤m≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z．
故实数m的取值范围为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]k∈z．
分析：（I）化简函数f（x）的解析式为 $\text{[math]}$ sin（ωx+ $\text{[math]}$ ），由该函数图象相邻两对称轴间的距离为 $\text{[math]}$ ，可得函数f（x）的最小正周期为π，由此求得ω=2．
（II）由不等式可得sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≥ $\text{[math]}$ ，故有 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2m+ $\text{[math]}$ ）≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z．由此解得实数m的取值范围．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合函数的单调性，解三角不等式，属于中档题．