题目内容

在某医学实验中，某实验小组为了分析某种药物用药量与血液中某种抗体水平的关系，选取六只实验动物进行血检，得到如下资料：
动物编号 1 2 3 4 5 6
用药量x（单位） 1 3 4 5 6 8
抗体指标y
（单位） 3.4 3.7 3.8 4.0 4.2 4.3
记s为抗体指标标准差，若抗体指标落在（ $数学公式$ -s， $数学公式$ +s）内则称该动物为有效动物，否则称为无效动物．研究方案规定先从六只动物中选取两只，用剩下的四只动物的数据求线性回归方程，再对被选取的两只动物数据进行检验．
（Ⅰ）设选取的两只动物中有效动物的只数为ξ，求随机变量ξ的分布列与期望；
（Ⅱ）若选取的是编号为1和6的两只动物，且利用剩余四只动物的数据求出y关于x的线性回归方程为 $数学公式$ =0.17x+a，试求出a的值；
（Ⅲ）若根据回归方程估计出的1号和6号动物的抗体指标数据与检验结果误差都不超过抗体指标标准差则认为得到的线性回归方程是可靠的，试判断（Ⅱ）中所得线性回归方程是否可靠．

解：（Ⅰ） $\text{[math]}$ ．故1、6号为无效动物，2、3、4、5号为有效动物----（2分）
所以随机变量ξ的取值为0，1，2
记从六只动物中选取两只所有可能结果共有 $\text{[math]}$ =15种．
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ----（5分）
分别列为

ξ	0	1	2
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

期望 $\text{[math]}$ ---（6分）
（Ⅱ）对于2、3、4、5号动物， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ =0.17x+a得a=3.16．----（8分）
（Ⅲ）由 $\text{[math]}$ =0.17x+3.16得 $\text{[math]}$ ₁=3.33， $\text{[math]}$ ₆=4.52．----（10分）
误差e₁=0.07，e₆=0.22均比标准差s≈0.31小，故（Ⅱ）中回归方程可靠．----（12分）
分析：（Ⅰ）ξ的可能取值有0，1，2，求出相应的概率，可得ξ的分布列及数学期望．
（Ⅱ）根据表格资料，可得对于2、3、4、5号动物，将 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 代入求出y关于x的线性回归方程即得a值；
（Ⅲ）由（II）得 $\text{[math]}$ ₁=3.33， $\text{[math]}$ ₆=4.52，从而得到误差e₁=0.07，e₆=0.22均比标准差s≈0.31小，即可得到结论．
点评：本题考查独立性检本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的阅读与计算能力，属于中档题．